23.10.11

MATEMATIKA : Limit Sebuah Fungsi

Jika f(x) adalah fungsi real dan c adalah bilangan real, maka:
\lim_{x \to c}f(x) = L
berarti f(x) dapat dibuat agar mempunyai nilai sedekat mungkin dengan L dengan cara membuat nilai x dekat dengan c. Dalam contoh ini, "limit dari f(x), bila x mendekati c, adalah L". Perlu diingat bahwa kalimat sebelumnya berlaku, meskipun f(c) \neq L. Bahkan, fungsi f(x) tidak perlu terdefinisikan pada titik c. Kedua contoh dibawah ini menggambarkan sifat ini.
Sebagai contoh, f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} pada saat x mendekati 2. Dalam contoh ini, f(x) mempunyai definisi yang jelas pada titik 2 dan nilainya sama dengan limitnya, yaitu 0.4:
f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1)
0.4121 0.4012 0.4001 \Rightarrow 0.4 \Leftarrow 0.3998 0.3988 0.3882
Semakin x mendekati 2, nilai f(x) mendekati 0.4, dan karena itu \lim_{x\to 2}f(x)=0.4. Dalam kasus dimana f(c) = \lim_{x\to c} f(x), f disebut kontinyu pada x = c. Namun, kasus ini tidak selalu berlaku. Sebagai contoh,
g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{if }x\ne 2 \\ \\ 0, & \mbox{if }x=2. \end{matrix}\right.
Limit g(x) pada saat x mendekat 2 adalah 0.4 (sama seperti f(x)), namun \lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2); g tidak kontinyu pada titik x = 2.
Atau, bisa diambil contoh dimana f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = c.
f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}
Dalam contoh ini, pada saat x mendekati 1, f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = 1 namun limitnya samadengan 2, karena makin x mendekati 1, f(x) makin mendekati 2:
f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.95 1.99 1.999 \Rightarrow undef \Leftarrow 2.001 2.010 2.10
Jadi, x dapat dibuat sedekat mungkin dengan 1, asal bukan persis sama dengan 1, jadi limit dari f(x) adalah 2.

Sebuah limit didefinisikan secara formal sebagai berikut: Bila f adalah fungsi yang terdefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung titik c (dengan kemungkinan pengecualian pada titik c) dan L adalah bilangan real, maka
\lim_{x \to c}f(x) = L
berarti bahwa untuk setiap \varepsilon\ >0 terdapat \delta\ >0 yang untuk semua x dimana 0<|x-c|< \delta\ , berlaku | f (x)-L|< \varepsilon\ .

Konsep yang berkaitan dengan limit saat x mendekati sebuah angka adalah konsep limit saat x mendekati tak terhingga, baik positif atau negatif. Ini bukan berarti selisih antara x dan tak terhingga menjadi kecil, karena tak terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun, artinya adalah x menjadi sangat besar (untuk tak terhingga) atau sangat kecil (untuk tak terhingga negatif).
Sebagai contoh, lihat f(x) = \frac{2x}{x + 1}.
  • f(100) = 1.9802
  • f(1000) = 1.9980
  • f(10000) = 1.9998
Semakin x membesar, nilai f(x) mendekati 2. Dalam contoh ini, dapat dikatakan bahwa
\lim_{x \to \infty} f(x) = 2
Perhatikan barisan berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 ... Kita dapat mengamati bahwa angka-angka tersebut "mendekati" 1.8, limit dari barisan tersebut. Secara formal, misalkan x1, x2, ... adalah barisan bilangan riil. Kita menyebut bilangan riil L sebagai limit barisan ini dan menuliskannya sebagai
\lim_{n \to \infty} x_n = L
yang artinya
Untuk setiap bilangan riil ε > 0, terdapat sebuah bilangan asli n0 sehingga untuk semua n > n0, |xn − L| < ε.
Secara intuitif ini berarti bahwa pada akhirnya semua elemen barisan tersebut akan mendekat sebagaimana yang kita kehendaki terhadap limit, karena nilai absolut |xn − L| adalah jarak antara x dan L. Tidak semua barisan memiliki limit. Bila ada, kita menyebutnya sebagai konvergen, bila tidak, disebut divergen. Dapat ditunjukkan bahwa barisan konvergen hanya memiliki satu limit.
Limit barisan dan limit fungsi berkaitan erat. Pada satu sisi, limit barisan hanyalah limit pada tak terhingga dari suatu fungsi yang didefinisikan pada bilangan asli. Di sisi lain, limit sebuah fungsi f pada x, bila ada, sama dengan limit barisan xn = f(x + 1/n).

Tidak ada komentar:

Posting Komentar